透過60個公式,體驗數學之美

數學公式中的數字、字母與算符可以喚起人們欣賞最偉大作曲家的藝術作品或音樂一樣的美感。

在 2014 年《人類神經科學前沿》雜志上發表的一篇新論文中,研究人員為十余位數學家提供了 60 個公式來評分。

在數學家查看方程式時,腦部掃描顯示許多區域都會參與其中,但當一個人看到某個美麗的公式時,大腦眶額葉皮層區域更活躍——就像看人們欣賞一幅偉大的畫作或聆聽曼妙音樂一樣。

筆者將把參與評選的 60 個數學公式整理出并附上簡單的介紹,一起來欣賞一下吧!(限于水平有限, 個別公式找不到標準對應譯名, 暫留英文, 還請各位朋友留言指正)

1. 歐拉恒等式

其中 e 是自然對數函數的底,i 是虛數單位,π 是圓周率。

美國物理學家理查德·費曼稱歐拉恒等式為「數學最美公式」,因為包含了數學中 5 個最重要的數學常數:0、1、e、π 和 i。并且包含了三種最基本的算術運算:加法、乘法和冪運算。絕對令人驚訝的是,這些看似無關的數和運算都被這個簡潔的公式聯系起來。

歐拉恒等式是歐拉公式的一種特殊形式,后者如上圖右側所示。

2. 畢達哥拉斯三角恒等式

畢達哥拉斯三角恒等式(Pythagorean trigonometric identity),正弦和余弦函數之間的基本關系之一。另外兩個相關公式如下所示:

3. 歐拉示性數/歐拉公式(圖論)

代數拓撲中的一個公式。而在平面圖,當圖是單連通圖的時候,公式簡化為上式。其中,V 是頂點的數目,E 是邊的數目,F 是面的數目。

4. 高斯-博內定理

在微分幾何中,高斯-博內定理(亦稱高斯-博內公式)是關于曲面的圖形(由曲率表征)和拓撲(由歐拉示性數表征)間聯系的一項重要表述。

5. 歐拉公式

歐拉公式是復分析領域的公式,它將三角函數與復指數函數關聯起來,因其提出者萊昂哈德·歐拉而得名。當 x=π 時,歐拉公式即歐拉恒等式,從上面圖形中也可以觀察得出。

6. 高斯積分

高斯積分,有時也被稱為機率積分,是高斯函數 e^{−x²} 在整個實數線上的積分。

7. 黎曼ζ函數的倒數

8. 指數函數

指數函數 e^x 可以用各種等價的方式定義,特別是它可以定義為冪級數的形式。

9. 高斯函數的傅里葉變換

10. e 的極限值定義式

11. 連續統的勢大于自然數集的勢

12. 曼德博集合定義式

曼德博集合是一種在復平面上組成分形的點的集合,它的定義歸功于法國數學家阿德里安·杜阿迪,以分形幾何先驅數學家本華·曼德博的名字所命名。

曼德博集合可以用復二次多項式來定義,其中 c 是一個復數參數。不同的參數 c 可能使序列的絕對值逐漸發散到無限大,也可能收斂在有限的區域內。

曼德博集合 M 就是使序列不延伸至無限大的所有復數 c 的集合。

13. 狄克拉函數恒等式

14. 拉馬努金圓周率公式

印度數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金曾發表很多關于圓周率 π 表示方式。這個公式因為收斂的速度異常地快,常用來計算其精確值。

15. 能寫成兩個正整數的立方和的最小數

數學上,1729 是一個可以用兩種方式寫成兩個正整數的立方和的數字,而且是有這種特性的數字中最小的一個。

16. 勾股定理

平面幾何中一個基本而重要的定理,且是人類早期發現并證明的重要數學定理之一。

17. 微積分基本定理

微積分基本定理(Fundamental theorem of calculus)描述了微積分的兩個主要運算──微分和積分之間的關系。

18. 留數定理

在復分析中,留數定理(residue theorem,又叫殘數定理)是用來計算解析函數沿著閉曲線的路徑積分的一個有力的工具,也可以用來計算實函數的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推論。

19. 掠食者—獵物方程

洛特卡-沃爾泰拉方程(Lotka-Volterra equation)別稱掠食者—獵物方程。是一個二元一階非線性微分方程組成。經常用來描述生物系統中,掠食者與獵物進行互動時的動態模型,也就是兩者族群規模的消長。

20. 擴散方程

擴散方程是一類偏微分方程,用來描述擴散現象中的物質密度的變化。通常也用來和擴散類似的現象,例如在群體遺傳學中等位基因在群體中的擴散。

21. 圓周率的定義

圓周率 π 是一個數學常數,為一個圓的周長和其直徑的比率。

22. 指數函數與自身的導數恒等

很多增長過程的問題都可以用指數函數 e^x 來模擬。

23. 麥克勞林級數

泰勒級數(Taylor series)用無限項連加式——級數來表示一個函數,這些相加的項由函數在某一點的導數求得。泰勒級數是以于1715年發表了泰勒公式的英國數學家布魯克·泰勒(Sir Brook Taylor)來命名的。通過函數在自變量零點的導數求得的泰勒級數又叫做麥克勞林級數,以蘇格蘭數學家科林·麥克勞林的名字命名。

24. 特征值和特征向量

線性代數中,對于一個給定的方陣 A,它的特征向量(eigenvector)x 經過這個線性變換之后,得到的新向量仍然與原來的 x 保持在同一條直線上,但其長度或方向也許會改變。

λ 為純量,即特征向量的長度在該線性變換下縮放的比例,稱 λ 為其特征值(eigenvalue)。如果特征值為正,則表示 x 在經過線性變換的作用后方向也不變;如果特征值為負,說明方向會反轉;如果特征值為 0,則是表示縮回零點。

25. 三角不等式

三角不等式是數學上的一個不等式,表示兩條邊的長度之和總是大于第三邊。它除了適用于三角形之外,還適用于其他數學范疇及日常生活中。

26. 素數計數函數的第一個估計定義

素數的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看,素數在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看,素數的個數竟然有規可循。對正實數 x,定義 π 為素數計數函數,亦即不大于 x 的素數個數。數學家找到了一些函數來估計 π 的增長。上面就是第一個這樣的估計。

27. 黎曼ζ函數的歐拉乘積形式

歐拉在1737年發現了歐拉乘積公式,這是ζ函數與素數的聯系的朦朧征兆。

28. 最小的勾股數

勾股數的發現時間較早,例如埃及的紙草書里面就有 (3,4,5) 這一組勾股數,而巴比倫泥板涉及的最大的一個勾股數組是 (13500,12709,18541)。在中國,《周髀算經》中也記述了 (3,4,5) 這一組勾股數。

29. 柯西積分公式

柯西積分公式是數學中復分析的一個重要結論,以十九世紀法國數學家奧古斯丁·路易·柯西命名。柯西積分公式說明了任何一個閉合區域上的全純函數在區域內部的值完全取決于它在區域邊界上的值,并且給出了區域內每一點的任意階導數的積分計算方式。

30. π 的萊布尼茨公式表示

π 的萊布尼茨公式右邊的展式是一個無窮級數,被稱為萊布尼茨級數,這個級數收斂到 π/4。使用求和符號可記作下式:

31. 巴塞爾問題

巴塞爾問題是一個著名的數論問題,要求的是精確計算所有平方數的倒數之和。該問題最初由皮耶特羅·門戈利在1644年提出,由萊昂哈德·歐拉在1735年解決。由于這個問題之前難倒了以前許多的數學家,所以年僅 28 歲的歐拉一解出這個問題立馬揚名于天下。

32. 等比數列和

一個等比數列的首 n 項之和,稱為等比數列和(sum of geometric sequence)或幾何級數(geometric series),記作 Sn$。

等比數列求和的公式如下:

當 -1 < r=""><1 時,幾何級數會收斂到一個如上式的固定值。

33. 伯克霍夫遍歷定理

伯克霍夫遍歷定理(Birkhoff ergodic theorem)是遍歷論的第一個重要結果。

34. 斯托克斯定理

斯托克斯定理(Stokes‘ theorem)是微分幾何中關于微分形式的積分的定理,該公式可以在對坐標的曲線積分和對面積的面積積分之間相互轉換。

35. 泊松求和的一個特例

36. 一維布朗運動的二次變差

37. 歐拉提出的另一個等式

等式左手是一個無窮乘積,在右手則為一個冪級數,其中 p(n) 表示 n 作為自然數之和的所有可能表示的數。

38. 算術-幾何平均值不等式

算術-幾何平均值不等式是一個常見而基本的不等式,表現算術平均數和幾何平均數之間恒定的不等關系。

39. 空集的勢

40. Cartan structural equations

41. 史特靈公式

史特靈公式(Stirling‘s formula)是一條用來取n階乘近似值的數學公式。一般來說,當n很大的時候,n階乘的計算量十分大,所以史特靈公式十分好用。

42. Integral formula for a character of an irreducible representation of a Lie group corresponding to the co-adjoint orbit Ω.

43. n 維球體公式

在 n 維歐氏空間里,半徑 r 的球之 n 維體積為上式。其中Γ是李昂哈德·歐拉的Γ函數(可被視為階乘在實數的延伸)。

44. Relation between the sphere, the complex projective line and the special orthogonal groups SO(3) and SO(2).

45. 阿貝爾群序列

46. Second Bianchi identity of the Riemann tensor

47. 莫比烏斯變換

幾何學里, 莫比烏斯變換是一類從黎曼球面映射到自身的函數。用擴展復平面上的復數表示的話,其形式為上式。

48. 克利福德代數

數學上,克利福德代數(Clifford algebra)是由具有二次型的向量空間生成的單位結合代數。作為域上的代數,其推廣實數系、復數系、四元數系等超復數系,以及外代數。

49. 整數 1 與黎曼ζ函數

整數 1 能夠表示為這樣黎曼 函數的無窮級數形式。

50. 補集的一個定律

若給定全集 U,則 A 在 U 中的相對補集稱為 A 的絕對補集(簡稱補集),記為 A^C。

51. 補集的另一個定律

52. 譜定理的一種表示

53. Berezin 積分

54. 柯西-黎曼方程

復分析中的柯西-黎曼微分方程(Cauchy–Riemann equations)是提供了可微函數在開集中為全純函數的充要條件的兩個偏微分方程,以柯西和黎曼得名。在一對實值函數 u(x,y) 和 v(x,y) 上的柯西-黎曼方程組包括上面兩個方程。

55. 拉普拉斯方程的一種表示

拉普拉斯方程,又名調和方程、位勢方程,是一種偏微分方程。因為由法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是電磁學、天文學、熱力學和流體力學等領域經常遇到的一類重要的數學問題。

上式中 △ 稱為拉普拉斯算子。

55. 佩爾方程

若一個丟番圖方程具有以上的形式,且 n 為正整數,則稱此二元二次不定方程為佩爾方程。

57. 正弦-戈爾登方程

正弦-戈爾登方程是一種非線性雙曲型偏微分方程,由于其孤子解的存在,這個方程在20世紀70年代引起了人們的廣泛關注。

58. 費馬大定理

費馬大定理(亦名費馬最后定理),當上式整數 n>2 時,關于 x,y,z 的不定方程無正整數解。

由17世紀法國數學家費馬提出,被稱為「費馬猜想」,直到英國數學家安德魯·懷爾斯及其學生理查·泰勒于1995年將他們的證明出版后,才稱為「費馬最后定理」。

在沖擊這個數論世紀難題的過程中,無論是不完全的還是最后完整的證明,都給數學界帶來很大的影響;很多的數學結果、甚至數學分支在這個過程中誕生,包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式,以及伽羅瓦理論和赫克代數等。

59. 黎曼ζ函數所滿足的函數方程

60. Contracted Bianchi identity where R^(μν) is the Ricci tensor and R is the scalar curvature

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